kaoyan1basic 高等数学 第197题
📝 题目
### 第197题 函数 $F(x)=\int_{x}^{x+\pi} \ln \left(1+\cos ^{2} t\right) \cos 2 t \mathrm{~d} t$ （A）为正数． （B）为负数． （C）恒为零． （D）不是常数．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：令$t=u+\pi$，则$F(x)=\int_x^{x+\pi}\ln(1+\cos^2t)\cos2t dt$，考虑$F(x)$的周期性。 步骤2：对$F(x)$求导，$F'(x)=\ln(1+\cos^2(x+\pi))\cos2(x+\pi)-\ln(1+\cos^2x)\cos2x=0$，因为$\cos(x+\pi)=-\cos x$，$\cos2(x+\pi)=\cos2x$。 步骤3：故$F(x)$为常数，且取$x=0$，$F(0)=\int_0^\pi\ln(1+\cos^2t)\cos2t dt$，由对称性，该积分为0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断F(x)是否为常数
对F(x)求导，利用莱布尼茨公式：F'(x) = ln(1+cos²(x+π))cos2(x+π) - ln(1+cos²x)cos2x。由于cos(x+π) = -cosx，cos2(x+π) = cos2x，所以F'(x)=0，故F(x)为常数。
公式：F'(x)=f(x+π)-f(x)，其中f(t)=ln(1+cos²t)cos2t
提示：注意cos函数的周期性和奇偶性。
步骤 2/2
目标：计算常数F(x)的值
取x=0，则F(0)=∫₀^π ln(1+cos²t)cos2t dt。利用对称性：令t=π-u，则dt=-du，积分限变为π到0，得到F(0)=∫₀^π ln(1+cos²(π-u))cos2(π-u) du = ∫₀^π ln(1+cos²u)cos2u du = -F(0)，所以2F(0)=0，即F(0)=0。因此F(x)恒为零。
公式：∫₀^π f(t)dt = ∫₀^π f(π-t)dt
提示：利用变量代换证明对称性。
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