kaoyan1basic 高等数学 第198题
📝 题目
### 第198题 设连续函数 $f(x)$ 满足 $f(2 x)=2 f(x)$ ，则 $\int_{1}^{2} x f(x) \mathrm{d} x=a \int_{0}^{1} x f(x) \mathrm{d} x$ ，其中 $a$ 为 （A） 5 ． （B） 6 ． （C） 7 ． （D） 8 ． ## 数学基础过关 660 题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：由$f(2x)=2f(x)$，令$x=1$得$f(2)=2f(1)$，一般地$f(2^k)=2^k f(1)$。 步骤2：令$x=2^t$，则$\int_1^2 xf(x)dx$，作变量代换$u=\log_2 x$，或直接利用条件：$\int_1^2 xf(x)dx=\int_{1/2}^1 2u\cdot2f(u)\cdot2du=8\int_{1/2}^1 uf(u)du$，但需化为$\int_0^1$。 步骤3：更简单：由$f(2x)=2f(x)$，令$t=2x$，$\int_1^2 xf(x)dx=\int_{1/2}^1 2t\cdot2f(t)\cdot dt=4\int_{1/2}^1 tf(t)dt$，再拆分区间：$\int_0^1=\int_0^{1/2}+\int_{1/2}^1$，利用$f(2x)=2f(x)$可得$\displaystyle \int_0^{1/2}tf(t)dt=\frac{1}{8}\int_0^1 uf(u)du$，代入得$\displaystyle \int_1^2 xf(x)dx=4\left(\int_0^1 tf(t)dt-\frac{1}{8}\int_0^1 uf(u)du\right)=\frac{7}{2}\int_0^1 xf(x)dx$，故$a=7$。 **难度**：★★★★☆