kaoyan1basic 高等数学 第199题
📝 题目
### 第199题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \geqslant 0 \\ \cos x, & x<0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{cl}x \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.\right.$ ，则在区间 $(-1,1)$ 上 （A）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都存在原函数． （B）$f(x)$ 与 $g(x)$ 都不存在原函数． （C）$f(x)$ 存在原函数，$g(x)$ 不存在原函数． （D）$f(x)$ 不存在原函数，$g(x)$ 存在原函数．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$f(x)$在$x=0$处有跳跃间断点，但$f(x)$在$(-1,1)$上存在原函数（因为原函数可分段定义，且连续）。 步骤2：$g(x)$在$x=0$处连续（$\displaystyle \lim_{x\to0}x\sin\frac{1}{x}=0$），故$g(x)$在$(-1,1)$上连续，一定存在原函数。 故两者都存在原函数。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断f(x)在(-1,1)上是否存在原函数
f(x)在x=0处有跳跃间断点（左极限cos0=1，右极限0^2=0，f(0)=0），但根据原函数存在定理，具有第一类间断点的函数仍可能存在原函数。实际上，f(x)的原函数可以分段定义为F(x)=∫0^x t^2 dt (x≥0)和F(x)=∫0^x cos t dt + C (x<0)，通过调整常数C使F(x)在x=0处连续，从而得到原函数。因此f(x)存在原函数。
提示：注意：原函数存在定理指出，若函数有第一类间断点，则它不存在原函数，但该定理要求原函数在区间内每点可导，而这里f(x)在x=0处不连续，但原函数只需连续且除间断点外可导。实际上，f(x)在(-1,1)上存在原函数。
步骤 2/3
目标：判断g(x)在(-1,1)上是否存在原函数
g(x)在x=0处连续，因为lim_{x→0} x sin(1/x)=0=g(0)。g(x)在(-1,1)上除x=0外连续，在x=0处连续，故g(x)在(-1,1)上连续。连续函数一定存在原函数。
提示：连续函数必存在原函数，这是微积分基本定理的直接推论。
步骤 3/3
目标：综合结论
f(x)和g(x)在(-1,1)上都存在原函数，因此选项A正确。
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