kaoyan1basic 高等数学 第200题
📝 题目
### 第200题 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{n}{n^{2}+1^{2}}+\frac{n}{n^{2}+2^{2}}+\cdots+\frac{n}{n^{2}+n^{2}}\right)=$ （A）$\displaystyle \frac{\pi}{2}$ ． （B）$\displaystyle \frac{\pi}{4}$ ． （C）$\displaystyle \frac{\pi}{3}$ ． （D）$\displaystyle \frac{\pi}{6}$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：原式$\displaystyle =\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n\frac{1}{1+(k/n)^2}$。 步骤2：此为定积分定义，$\displaystyle \int_0^1\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x\big|_0^1=\frac{\pi}{4}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将极限表达式转化为定积分形式
原式 = lim_{n→∞} (1/n) * Σ_{k=1}^n 1/(1+(k/n)^2)
公式：lim_{n→∞} (1/n) Σ_{k=1}^n f(k/n) = ∫_0^1 f(x) dx
提示：注意将通项中的n提取公因子，并凑出1/n和(k/n)的形式。
步骤 2/2
目标：计算定积分
∫_0^1 1/(1+x^2) dx = arctan x |_0^1 = π/4
公式：∫ 1/(1+x^2) dx = arctan x + C
提示：arctan(1)=π/4, arctan(0)=0。
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