kaoyan1basic 高等数学 第201题
📝 题目
### 第201题 数列极限 $\displaystyle \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\int_{0}^{n \pi}|\sin x| \mathrm{d} x}{(n+1) \pi}=$ （A）0． （B）不存在． （C）$\displaystyle \frac{2}{\pi}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{\pi}$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：计算积分 $\int_{0}^{n\pi}|\sin x|dx$。由于 $|\sin x|$ 周期为 $\pi$，且 $\int_{0}^{\pi}|\sin x|dx = 2$，故 $\int_{0}^{n\pi}|\sin x|dx = 2n$。 步骤2：代入极限：$\displaystyle \lim_{n\to\infty} \frac{2n}{(n+1)\pi} = \frac{2}{\pi}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：计算积分 ∫₀^{nπ} |sin x| dx
由于 |sin x| 是周期为 π 的函数，且在一个周期内的积分为 ∫₀^π |sin x| dx = 2，因此 ∫₀^{nπ} |sin x| dx = 2n。
公式：∫₀^{nπ} |sin x| dx = 2n
提示：利用周期性简化积分计算。
步骤 2/2
目标：代入极限表达式并求值
将积分结果代入极限：lim_{n→∞} [2n / ((n+1)π)] = lim_{n→∞} [2 / (π(1+1/n))] = 2/π。
公式：lim_{n→∞} 2n/((n+1)π) = 2/π
提示：分子分母同除以 n 后求极限。
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