kaoyan1basic 高等数学 第202题
📝 题目
### 第202题 下列反常积分发散的是 （A） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sin x} \mathrm{~d} x$ ． （B） $\displaystyle \int_{-1}^{1} \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \mathrm{~d} x$ ． （C） $\int_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ． （D） $\displaystyle \int_{2}^{+\infty} \frac{1}{x \ln ^{2} x} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：选项A：$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sin x}dx$，在 $x=0$ 处被积函数 $\displaystyle \sim \frac{1}{x}$，发散。 步骤2：选项B：$\displaystyle \int_{-1}^{1}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx$ 收敛（瑕积分，原函数为 $\arcsin x$）。 步骤3：选项C：$\int_{0}^{+\infty}e^{-x^2}dx$ 收敛（高斯积分）。 步骤4：选项D：$\displaystyle \int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^2 x}dx$ 收敛（$p$-积分，$p=2>1$）。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断选项A是否发散
对于积分 ∫_{-1}^{1} 1/sin x dx，在 x=0 处被积函数 ~ 1/x，而 1/x 在0附近发散，因此该瑕积分发散。
公式：1/sin x ~ 1/x (x→0)
提示：注意瑕点 x=0，比较判别法。
步骤 2/4
目标：判断选项B是否发散
对于积分 ∫_{-1}^{1} 1/√(1-x^2) dx，原函数为 arcsin x，在 x=±1 处有界，积分值为 π，收敛。
公式：∫ 1/√(1-x^2) dx = arcsin x + C
提示：直接计算原函数。
步骤 3/4
目标：判断选项C是否发散
对于积分 ∫_0^{+∞} e^{-x^2} dx，这是高斯积分，收敛到 √π/2。
公式：∫_0^{+∞} e^{-x^2} dx = √π/2
提示：已知收敛结果。
步骤 4/4
目标：判断选项D是否发散
对于积分 ∫_2^{+∞} 1/(x ln^2 x) dx，令 u=ln x，则 du=dx/x，积分变为 ∫_{ln2}^{+∞} 1/u^2 du，收敛。
公式：∫ 1/(x ln^2 x) dx = -1/ln x + C
提示：换元或直接原函数。
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