kaoyan1basic 高等数学 第204题
📝 题目
### 第204题 设有下列命题 （1）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续是奇函数，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x=0$ ． （2）设 $f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，又 $\lim _{R \rightarrow+\infty} \int_{-R}^{R} f(x) \mathrm{d} x$ 存在，则 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 收敛。 （3） $\int_{a}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x, \int_{a}^{+\infty} g(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则 $\int_{a}^{+\infty}[f(x)+g(x)] \mathrm{d} x$ 可能发散，也可能收敛。 （4）若 $\int_{-\infty}^{0} f(x) \mathrm{d} x$ 与 $\int_{0}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 均发散，则不能确定 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \mathrm{d} x$ 是否收敛． 则以上命题中正确的个数是 （A） 1 ． （B） 2 ． （C） 3 ． （D） 4 ． ## 数学基础过关 660 题。数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：命题(1)错误，因为 $\int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx$ 需两个极限均存在，奇函数不能保证收敛。 步骤2：命题(2)正确，$\lim_{R\to+\infty}\int_{-R}^{R}f(x)dx$ 存在即柯西主值存在，但反常积分收敛需两个单侧极限分别存在，此处条件不足，故错误。实际上，该命题是柯西主值定义，但反常积分收敛要求更强，故(2)错误。 步骤3：命题(3)正确，例如 $f(x)=1/x$，$g(x)=-1/x$ 在 $[1,+\infty)$ 均发散，但和为零收敛。 步骤4：命题(4)正确，因为 $\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx$ 收敛当且仅当两个单侧积分均收敛。 故正确个数为2。 **难度**：★★★☆☆