kaoyan1basic 高等数学 第205题
📝 题目
### 第205题 曲线 $\displaystyle y=\cos x\left(x \in\left[0, \frac{\pi}{2}\right]\right)$ 与 $x$ 轴，$y$ 轴所围面积被曲线 $y=a \sin x$ 等分，则 $a=$ （A）$\displaystyle \frac{2}{5}$ ． （B）$\displaystyle \frac{3}{5}$ ． （C）$\displaystyle \frac{3}{4}$ ． （D）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：曲线 $y=\cos x$ 与坐标轴围成面积 $S=\int_{0}^{\pi/2}\cos x dx = 1$。 步骤2：设 $y=a\sin x$ 与 $y=\cos x$ 交点为 $x_0$，满足 $a\sin x_0 = \cos x_0$，即 $\tan x_0 = 1/a$。 步骤3：上半部分面积 $S_1 = \int_{0}^{x_0}(\cos x - a\sin x)dx = \sin x_0 + a\cos x_0 - a$。 步骤4：由 $\displaystyle S_1 = \frac{1}{2}$，代入 $\displaystyle \sin x_0 = \frac{1}{\sqrt{1+a^2}}$，$\displaystyle \cos x_0 = \frac{a}{\sqrt{1+a^2}}$，得 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+a^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{1+a^2}} - a = \frac{1}{2}$，即 $\displaystyle \sqrt{1+a^2} - a = \frac{1}{2}$，解得 $\displaystyle a = \frac{3}{4}$。 **难度**：★★★☆☆