kaoyan1basic 高等数学 第206题
📝 题目
### 第206题 由曲线 $y=1-(x-1)^{2}$ 及直线 $y=0$ 围成图形绕 $y$ 轴旋转而成立体的体积 $V$ 是 （A） $\int_{0}^{1} \pi(1+\sqrt{1+y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （B） $\int_{0}^{1} \pi(1-\sqrt{1-y})^{2} \mathrm{~d} y$ ． （C） $\int_{0}^{1} \pi[(1+\sqrt{1-y})-(1-\sqrt{1-y})]^{2} \mathrm{~d} y$ ． （D） $\int_{0}^{1} \pi\left[(1+\sqrt{1-y})^{2}-(1-\sqrt{1-y})^{2}\right] \mathrm{d} y$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：曲线 $y=1-(x-1)^2$ 即 $(x-1)^2 = 1-y$，解得 $x=1\pm\sqrt{1-y}$，$y\in[0,1]$。 步骤2：绕 $y$ 轴旋转体积用圆环法：$V = \int_{0}^{1}\pi[(1+\sqrt{1-y})^2 - (1-\sqrt{1-y})^2]dy$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将曲线方程转化为x关于y的表达式
由曲线方程 y=1-(x-1)^2 得 (x-1)^2 = 1-y，解得 x=1±√(1-y)，其中 y∈[0,1]。
公式：(x-1)^2 = 1-y
提示：注意开方后得到两个分支，分别对应曲线的左右部分。
步骤 2/2
目标：确定旋转体体积的积分表达式
绕y轴旋转，使用圆环法（washer method），体积微元为 π[(外半径)^2 - (内半径)^2]dy。外半径为 1+√(1-y)，内半径为 1-√(1-y)，积分区间为 y从0到1。
公式：V = ∫_{0}^{1} π[(1+√(1-y))^2 - (1-√(1-y))^2] dy
提示：注意区分内外半径，外半径是离y轴较远的点对应的x值。
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