kaoyan1basic 高等数学 第207题
📝 题目
### 第207题 曲线 $r=a \mathrm{e}^{b \theta}(a>0, b>0)$ 从 $\theta=0$ 到 $\theta=\alpha(\alpha>0)$ 的一段弧长为 （A）$s=\int_{0}^{\alpha} a \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+b^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （B）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)} \mathrm{d} \theta$ ． （C）$s=\int_{0}^{\alpha} \sqrt{1+\left(a \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ． （D）$s=\int_{0}^{a} a b \mathrm{e}^{b \theta} \sqrt{1+\left(a b \mathrm{e}^{b \theta}\right)^{2}} \mathrm{~d} \theta$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：极坐标弧长公式 $s = \int_{\theta_1}^{\theta_2} \sqrt{r^2 + (r')^2} d\theta$。 步骤2：$r = a e^{b\theta}$，$r' = ab e^{b\theta}$，则 $\sqrt{r^2+(r')^2} = a e^{b\theta}\sqrt{1+b^2}$。 步骤3：$s = \int_{0}^{\alpha} a e^{b\theta}\sqrt{1+b^2} d\theta$。 **难度**：★★☆☆☆