📝 题目
### 第208题 旋轮线的一支 $x=a(t-\sin t), y=a(1-\cos t)(0 \leqslant t \leqslant 2 \pi)$ 的质心是 （A）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{4}{3} a\right)$ ． （B）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{2}{3} a\right)$ ． （C）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{5}{4} a\right)$ ． （D）$\displaystyle \left(\pi a, \frac{7}{4} a\right)$ ． ## （－）纠错笔记
📋 详细解题步骤
目标：写出旋轮线一拱的参数方程
旋轮线的一支参数方程为 x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t)，其中 t ∈ [0, 2π]。
公式：x = a(t - sin t), y = a(1 - cos t)
提示：注意参数 t 的范围是 0 到 2π，对应一拱。
目标：计算弧长 L
弧长公式 L = ∫√[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] dt。先求导：dx/dt = a(1 - cos t)，dy/dt = a sin t。则 (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 = a^2(1 - 2cos t + cos^2 t + sin^2 t) = a^2(2 - 2cos t) = 2a^2(1 - cos t)。利用半角公式 1 - cos t = 2 sin^2(t/2)，得 √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] = a√[4 sin^2(t/2)] = 2a|sin(t/2)|。在 t∈[0,2π] 上，sin(t/2) ≥ 0，所以绝对值为 2a sin(t/2)。积分得 L = ∫_0^{2π} 2a sin(t/2) dt = 2a * [-2cos(t/2)]_0^{2π} = 4a( -cosπ + cos0 ) = 4a(1+1) = 8a。
公式：L = ∫_0^{2π} √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] dt = 8a
提示：利用半角公式简化根式，注意 sin(t/2) 在区间内非负。
目标：计算质心横坐标 x̄
质心横坐标公式 x̄ = (1/L) ∫ x ds，其中 ds = √[(dx/dt)^2 + (dy/dt)^2] dt = 2a sin(t/2) dt。所以 x̄ = (1/(8a)) ∫_0^{2π} a(t - sin t) * 2a sin(t/2) dt = (a/4) ∫_0^{2π} (t - sin t) sin(t/2) dt。分别积分：∫_0^{2π} t sin(t/2) dt 和 ∫_0^{2π} sin t sin(t/2) dt。第一项用分部积分，第二项用积化和差。计算得 ∫_0^{2π} t sin(t/2) dt = 4π，∫_0^{2π} sin t sin(t/2) dt = 0。所以 x̄ = (a/4) * 4π = πa。
公式：x̄ = (1/L) ∫ x ds = πa
提示：积分时注意对称性和分部积分技巧。
目标：计算质心纵坐标 ȳ
质心纵坐标公式 ȳ = (1/L) ∫ y ds = (1/(8a)) ∫_0^{2π} a(1 - cos t) * 2a sin(t/2) dt = (a/4) ∫_0^{2π} (1 - cos t) sin(t/2) dt。利用半角公式 1 - cos t = 2 sin^2(t/2)，则被积函数为 2 sin^2(t/2) sin(t/2) = 2 sin^3(t/2)。所以 ȳ = (a/4) ∫_0^{2π} 2 sin^3(t/2) dt = (a/2) ∫_0^{2π} sin^3(t/2) dt。令 u = t/2，则 dt = 2 du，积分限 u∈[0,π]，得 ȳ = (a/2) ∫_0^π sin^3 u * 2 du = a ∫_0^π sin^3 u du。计算 ∫_0^π sin^3 u du = 4/3，所以 ȳ = (4/3)a。
公式：ȳ = (1/L) ∫ y ds = (4/3)a
提示：利用半角公式简化，注意换元积分。