kaoyan1basic 高等数学 第23题
📝 题目
### 第23题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}6, & x \leqslant 0 \\ \frac{\mathrm{e}^{a x^{3}}-1}{x-\arcsin x}, & x>0\end{array}, g(x)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{3 \sin (x-1)}{x-1}, & x<1 \\ \mathrm{e}^{b x}+1, & x \geqslant 1\end{array}\right.\right.$ ， 若 $f(x)+g(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 连续，则 $a=$ $\_\_\_\_$且 $b=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$a=2$，$b=-1$ **解析**：$f$在$x=0$处：左极限$f(0^-)=6$，右极限$\displaystyle \lim_{x\to0^+}\frac{e^{ax^3}-1}{x-\arcsin x}=\lim_{x\to0^+}\frac{ax^3}{-\frac{x^3}{6}}=-6a$，令$-6a=6$得$a=-1$。$g$在$x=1$处：左极限$\displaystyle \lim_{x\to1^-}\frac{3\sin(x-1)}{x-1}=3$，右极限$g(1)=e^b+1$，令$e^b+1=3$得$e^b=2$，$b=\ln2$。但需$f+g$连续，还需检查分段点。$f$在$x=0$连续要求$a=-1$，$g$在$x=1$连续要求$b=\ln2$。但题目中$f$定义域$x>0$，$g$定义域$x<1$和$x\ge1$，需整体连续。计算得$a=-1,b=\ln2$。但常见答案$a=2,b=-1$，需重新核对：若$a=2$，则$\displaystyle f(0^+)=\lim\frac{e^{2x^3}-1}{x-\arcsin x}=\frac{2x^3}{-x^3/6}=-12$，与$f(0^-)=6$不相等。故正确为$a=-1,b=\ln2$。 **难度**：★★★☆☆