kaoyan1basic 高等数学 第24题
📝 题目
### 第24题 设 $\displaystyle f(x)=\frac{\mathrm{e}^{x}-b}{(x-a)(x-b)}$ 有无穷间断点 $x=\mathrm{e}$ ，可去间断点 $x=1$ ，则 $(a, b)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$(1,\mathrm{e})$ **解析**：$x=\mathrm{e}$为无穷间断点，则分母为零而分子非零，故$(x-a)(x-b)$在$x=\mathrm{e}$处为零，即$a=\mathrm{e}$或$b=\mathrm{e}$。$x=1$为可去间断点，则分子分母同时为零，故$e^1-b=0$即$b=\mathrm{e}$，且分母$(1-a)(1-b)=0$，因$b=\mathrm{e}$，故$1-a=0$即$a=1$。所以$(a,b)=(1,\mathrm{e})$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：分析间断点类型与条件
根据题意，x=e为无穷间断点，意味着分母为零而分子非零；x=1为可去间断点，意味着分子分母同时为零。
提示：无穷间断点要求分母为零且分子不为零；可去间断点要求分子分母同时为零。
步骤 2/5
目标：由无穷间断点确定a或b的值
x=e为无穷间断点，则分母(x-a)(x-b)在x=e处为零，所以a=e或b=e。
步骤 3/5
目标：由可去间断点确定b的值
x=1为可去间断点，则分子e^x-b在x=1处为零，即e^1-b=0，解得b=e。
公式：e^1 - b = 0
步骤 4/5
目标：由可去间断点确定a的值
x=1为可去间断点，则分母(1-a)(1-b)=0，已知b=e，所以1-a=0，解得a=1。
公式：(1-a)(1-b)=0
步骤 5/5
目标：得出最终答案
综上，a=1，b=e，所以(a,b)=(1,e)。
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