kaoyan1basic 高等数学 第25题
📝 题目
### 第25题 设 $\displaystyle f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x+x^{2} \mathrm{e}^{n x}}{1+\mathrm{e}^{n x}}$ ，则 $f(x)$ 的连续区间是 $\_\_\_\_$ ． ## ✓ 纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$（或$x\neq0$） **解析**：当$x>0$时，$e^{nx}\to+\infty$，$\displaystyle f(x)=\lim\frac{x+x^2e^{nx}}{1+e^{nx}}=x^2$；当$x=0$时，$\displaystyle f(0)=\lim\frac{0}{2}=0$；当$x<0$时，$e^{nx}\to0$，$f(x)=x$。故$f(x)=\begin{cases}x^2,&x>0\\0,&x=0\\x,&x<0\end{cases}$，在$x=0$处左极限$0$，右极限$0$，$f(0)=0$，连续。但需检查：$x=0$时极限为0，故连续区间为$(-\infty,+\infty)$。但原题常见答案$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$，因$f$在$x=0$处由极限定义可能不连续？实际计算$f(0)=0$，左右极限均为0，连续。故连续区间为$\mathbb{R}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析极限表达式，根据x的不同取值范围讨论e^{nx}的极限行为
当x>0时，e^{nx}→∞；当x=0时，e^{nx}=1；当x<0时，e^{nx}→0。
提示：注意指数函数极限依赖于x的符号。
步骤 2/4
目标：分别计算三种情况下的f(x)表达式
当x>0时，分子分母同除以e^{nx}，得f(x)=lim (x e^{-nx}+x^2)/(e^{-nx}+1)=x^2；当x=0时，f(0)=lim (0+0)/(1+1)=0；当x<0时，e^{nx}→0，直接代入得f(x)=x。
公式：f(x)= { x^2, x>0; 0, x=0; x, x<0 }
提示：注意极限运算的合法性。
步骤 3/4
目标：判断f(x)在x=0处的连续性
左极限lim_{x→0-} f(x)=0，右极限lim_{x→0+} f(x)=0，f(0)=0，故在x=0处连续。
提示：连续的定义：极限值等于函数值。
步骤 4/4
目标：确定连续区间
由于分段函数在各段内均为初等函数，连续，且在分段点x=0处连续，故连续区间为(-∞,+∞)。
提示：注意原题常见答案可能误判，实际连续区间为全体实数。
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