kaoyan1basic 高等数学 第26题
📝 题目
### 第26题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\arctan x, & x \leqslant 1 \\ \frac{1}{2}\left(\mathrm{e}^{x^{2}-1}-x\right)+\frac{\pi}{4}, & x>1\end{array}\right.$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \begin{cases}\frac{1}{1+x^2},&x<1\\ \frac{1}{2}(2xe^{x^2-1}-1),&x>1\end{cases}$，$x=1$处不可导 **解析**：$x<1$时，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{1+x^2}$；$x>1$时，$\displaystyle f'(x)=\frac12(2xe^{x^2-1}-1)=xe^{x^2-1}-\frac12$。在$x=1$处，左导数$\displaystyle \frac12$，右导数$\displaystyle 1\cdot e^0-\frac12=\frac12$，相等，故$\displaystyle f'(1)=\frac12$。所以$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{1}{1+x^2},&x\le1\\ xe^{x^2-1}-\frac12,&x>1\end{cases}$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求x<1时的导数
当x<1时，f(x)=arctan x，直接求导得f'(x)=1/(1+x^2)。
公式：d/dx arctan x = 1/(1+x^2)
提示：注意基本求导公式
步骤 2/4
目标：求x>1时的导数
当x>1时，f(x)=1/2(e^{x^2-1}-x)+π/4，求导得f'(x)=1/2(2x e^{x^2-1}-1)=x e^{x^2-1}-1/2。
公式：d/dx e^{x^2-1}=2x e^{x^2-1}
提示：复合函数求导，注意指数函数的导数
步骤 3/4
目标：讨论x=1处的可导性
计算左导数：f'_-(1)=lim_{x→1^-} 1/(1+x^2)=1/2；右导数：f'_+(1)=lim_{x→1^+} (x e^{x^2-1}-1/2)=1*e^0-1/2=1/2。左右导数相等，故f'(1)=1/2。
公式：左导数=右导数时，函数在该点可导
提示：分段函数在分段点处需用定义判断可导性
步骤 4/4
目标：写出最终导数表达式
综合得f'(x)= { 1/(1+x^2), x≤1; x e^{x^2-1}-1/2, x>1 }。
提示：注意x=1处包含在左段
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