kaoyan1basic 高等数学 第27题
📝 题目
### 第27题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{\ln (1+b x)}{x}, & x \neq 0 \\ -1, & x=0\end{array}\right.$ ，其中 $b$ 为某常数，$f(x)$ 在定义域上处处可导，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \begin{cases}\frac{b}{1+bx}\cdot\frac1x-\frac{\ln(1+bx)}{x^2},&x\neq0\\ -\frac{b^2}{2},&x=0\end{cases}$ **解析**：$x\neq0$时，$\displaystyle f(x)=\frac{\ln(1+bx)}{x}$，$\displaystyle f'(x)=\frac{\frac{b}{1+bx}\cdot x-\ln(1+bx)}{x^2}=\frac{bx-(1+bx)\ln(1+bx)}{x^2(1+bx)}$。由$f(0)=-1$，且$f$可导，先求$f'(0)$：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{\ln(1+bx)}{x}+1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+bx)+x}{x^2}=\lim_{x\to0}\frac{bx-\frac{b^2x^2}{2}+x+o(x^2)}{x^2}$，需分子一次项系数$b+1=0$得$b=-1$，此时$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{-\frac12x^2+o(x^2)}{x^2}=-\frac12$。故$b=-1$，$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{-x-(1-x)\ln(1-x)}{x^2(1-x)},&x\neq0\\ -\frac12,&x=0\end{cases}$。化简得$\displaystyle f'(x)=\begin{cases}\frac{\ln(1-x)}{x^2}-\frac{1}{x(1-x)},&x\neq0\\ -\frac12,&x=0\end{cases}$。 **难度**：★★★☆☆