kaoyan1basic 高等数学 第28题
📝 题目
### 第28题 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & x \leqslant 0 \\ x^{\alpha} \sin \frac{1}{x}, & x>0\end{array}\right.$ ，若 $f(x)$ 可导，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ；若 $f^{\prime}(x)$ 连续，则 $\alpha$ 应满足 $\_\_\_\_$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：$\alpha>1$；$\alpha>2$ **解析**：$f$在$x=0$可导，需连续且左右导数相等。左导数$\displaystyle f'_-(0)=\lim_{x\to0^-}\frac{x^2-0}{x}=0$；右导数$\displaystyle f'_+(0)=\lim_{x\to0^+}\frac{x^\alpha\sin\frac1x-0}{x}=\lim_{x\to0^+}x^{\alpha-1}\sin\frac1x$，极限为0当且仅当$\alpha-1>0$即$\alpha>1$。若$f'(x)$连续，则$f'(x)$在$x=0$连续，$x>0$时$\displaystyle f'(x)=\alpha x^{\alpha-1}\sin\frac1x - x^{\alpha-2}\cos\frac1x$，当$x\to0^+$时，第一项极限为0需$\alpha>1$，第二项极限为0需$\alpha>2$，故$\alpha>2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：确定f(x)在x=0可导的条件
首先，f(x)在x=0可导的必要条件是f(x)在x=0连续。计算左极限：lim_{x→0^-} f(x)=lim_{x→0^-} x^2=0；右极限：lim_{x→0^+} f(x)=lim_{x→0^+} x^α sin(1/x)=0当且仅当α>0（因为sin(1/x)有界）。所以连续要求α>0。但可导还需左右导数相等。
提示：注意连续是导数存在的必要条件，但这里连续条件较弱，主要看导数条件。
步骤 2/7
目标：计算左导数
左导数f'_-(0)=lim_{x→0^-} (f(x)-f(0))/(x-0)=lim_{x→0^-} (x^2-0)/x=lim_{x→0^-} x=0。
公式：f'_-(0)=0
步骤 3/7
目标：计算右导数
右导数f'_+(0)=lim_{x→0^+} (f(x)-f(0))/(x-0)=lim_{x→0^+} (x^α sin(1/x))/x=lim_{x→0^+} x^{α-1} sin(1/x)。由于|sin(1/x)|≤1，该极限为0当且仅当α-1>0，即α>1。若α=1，极限不存在（振荡）；若α<1，极限无穷大。
公式：f'_+(0)=lim_{x→0^+} x^{α-1} sin(1/x)=0 ⇔ α>1
提示：利用有界量乘以无穷小仍为无穷小，但需指数为正。
步骤 4/7
目标：得出可导条件
左右导数相等均为0，故f(x)在x=0可导当且仅当α>1。
步骤 5/7
目标：求导函数f'(x)在x>0的表达式
当x>0时，f(x)=x^α sin(1/x)，求导得f'(x)=α x^{α-1} sin(1/x) + x^α cos(1/x)·(-1/x^2)=α x^{α-1} sin(1/x) - x^{α-2} cos(1/x)。
公式：f'(x)=α x^{α-1} sin(1/x) - x^{α-2} cos(1/x)
提示：注意复合函数求导，cos(1/x)的导数为-sin(1/x)·(-1/x^2)？实际上d/dx sin(1/x)=cos(1/x)·(-1/x^2)，所以正确。
步骤 6/7
目标：分析f'(x)在x=0连续的条件
f'(x)在x=0连续要求lim_{x→0^+} f'(x)=f'(0)=0。考虑两项：第一项α x^{α-1} sin(1/x)，当α>1时极限为0（因为α-1>0，有界量乘无穷小）；第二项-x^{α-2} cos(1/x)，极限为0当且仅当α-2>0，即α>2。若α=2，极限不存在（振荡）；若α<2，极限无穷大。因此，当α>2时，两项极限均为0，从而lim_{x→0^+} f'(x)=0=f'(0)，连续。
公式：lim_{x→0^+} x^{α-2} cos(1/x)=0 ⇔ α>2
提示：注意第二项是主要限制条件。
步骤 7/7
目标：得出最终答案
若f(x)可导，则α>1；若f'(x)连续，则α>2。
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