kaoyan1basic 高等数学 第29题
📝 题目
### 第29题 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且是偶函数，$f^{\prime}(-2)=-1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{h}{f(5-2 \sin h)-f(5)}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac12$ **解析**：$f$周期3，$f(5)=f(2)$，$f$偶，$f'(2)=-f'(-2)=1$（偶函数导数为奇函数）。则$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{h}{f(5-2\sin h)-f(5)}=\lim_{h\to0}\frac{h}{f(2-2\sin h)-f(2)}=\frac{1}{\lim_{h\to0}\frac{f(2-2\sin h)-f(2)}{h}}=\frac{1}{f'(2)\cdot(-2\cos0)}=\frac{1}{1\cdot(-2)}=-\frac12$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用周期性和奇偶性简化函数值
由于f(x)以3为周期，f(5)=f(2)；又f(x)是偶函数，所以f'(x)是奇函数，故f'(2)=-f'(-2)=1。
公式：f(5)=f(2); f'(2)=-f'(-2)=1
提示：注意周期函数和偶函数的性质：周期函数平移周期后函数值相等，偶函数的导数是奇函数。
步骤 2/3
目标：将极限表达式转化为导数形式
原极限为lim_{h→0} h / [f(5-2sin h)-f(5)] = lim_{h→0} h / [f(2-2sin h)-f(2)]。令Δx = -2sin h，则当h→0时，Δx→0。考虑导数定义：lim_{h→0} [f(2-2sin h)-f(2)] / h = f'(2) * (-2cos0) = 1 * (-2) = -2。因此原极限 = 1 / (-2) = -1/2。
公式：lim_{h→0} [f(2-2sin h)-f(2)] / h = f'(2) * (-2cos0)
提示：利用复合函数求导法则：lim_{h→0} [f(g(h))-f(g(0))]/h = f'(g(0)) * g'(0)，其中g(h)=2-2sin h。
步骤 3/3
目标：计算极限值
由第二步得lim_{h→0} [f(2-2sin h)-f(2)]/h = -2，所以原极限 = 1/(-2) = -1/2。
公式：原极限 = 1 / (lim_{h→0} [f(2-2sin h)-f(2)]/h) = -1/2
提示：注意极限的倒数运算，分母极限不为零。
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