kaoyan1basic 高等数学 第30题
📝 题目
### 第30题 设 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导且 $f(0)=1, f^{\prime}(0)=3$ ，则数列极限 $\displaystyle I=\lim _{n \rightarrow \infty}\left(f\left(\frac{1}{n}\right)\right)^{\frac{\frac{1}{n}}{1-\cos \frac{1}{n}}}=$ $\_\_\_\_$ ． ◯纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：$e^3$ **解析**：$\displaystyle I=\lim_{n\to\infty}\left(f\left(\frac1n\right)\right)^{\frac{1/n}{1-\cos(1/n)}}$，取对数得$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\frac{\ln f(1/n)}{1-\cos(1/n)}\cdot\frac1n$，注意指数为$\displaystyle \frac{1/n}{1-\cos(1/n)}$，故$\displaystyle I=\exp\left(\lim_{n\to\infty}\frac{\ln f(1/n)}{1-\cos(1/n)}\right)$。令$\displaystyle x=\frac1n\to0$，则$\ln f(x)\sim f(x)-1\sim f'(0)x=3x$，$\displaystyle 1-\cos x\sim\frac{x^2}{2}$，故极限为$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{3x}{x^2/2}=6$，所以$I=e^6$。但需注意原指数为$\displaystyle \frac{1/n}{1-\cos(1/n)}$，即$\displaystyle \frac{x}{1-\cos x}\sim\frac{x}{x^2/2}=\frac{2}{x}$，故$\displaystyle I=\lim_{x\to0}(f(x))^{\frac{2}{x}}=\exp\left(\lim_{x\to0}\frac{2\ln f(x)}{x}\right)=\exp\left(2\cdot\frac{f'(0)}{f(0)}\right)=e^{2\cdot3}=e^6$。 **难度**：★★★☆☆