kaoyan1basic 高等数学 第31题
📝 题目
### 第31题 设 $f(x)$ 在 $x=a$ 处二阶导数存在，则 $$ I=\lim _{h \rightarrow 0} \frac{\frac{f(a+h)-f(a)}{h}-f^{\prime}(a)}{h}= $$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{2}f''(a)$ **解析**： 步骤1：将极限表达式改写为 $\displaystyle I=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h^2}$。 步骤2：由二阶导数存在，应用洛必达法则或泰勒展开：$\displaystyle f(a+h)=f(a)+hf'(a)+\frac{h^2}{2}f''(a)+o(h^2)$，代入得分子为 $\displaystyle \frac{h^2}{2}f''(a)+o(h^2)$。 步骤3：除以 $h^2$ 取极限得 $\displaystyle I=\frac{1}{2}f''(a)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将极限表达式改写为便于处理的形式
将原极限 I = lim_{h→0} [ (f(a+h)-f(a))/h - f'(a) ] / h 通分，得到 I = lim_{h→0} [ f(a+h) - f(a) - h f'(a) ] / h^2。
公式：I = \lim_{h\to 0} \frac{f(a+h)-f(a)-hf'(a)}{h^2}
提示：注意分子是 f(a+h) 的一阶泰勒展开的余项形式。
步骤 2/3
目标：利用二阶导数存在进行泰勒展开
由于 f(x) 在 x=a 处二阶导数存在，将 f(a+h) 在 x=a 处泰勒展开到二阶：f(a+h) = f(a) + h f'(a) + (h^2/2) f''(a) + o(h^2)。代入分子得：f(a+h) - f(a) - h f'(a) = (h^2/2) f''(a) + o(h^2)。
公式：f(a+h) = f(a) + h f'(a) + \frac{h^2}{2} f''(a) + o(h^2)
提示：o(h^2) 表示比 h^2 高阶的无穷小。
步骤 3/3
目标：计算极限
将展开结果代入极限表达式：I = lim_{h→0} [ (h^2/2) f''(a) + o(h^2) ] / h^2 = lim_{h→0} [ (1/2) f''(a) + o(1) ] = (1/2) f''(a)。
公式：I = \frac{1}{2} f''(a)
提示：注意 o(h^2)/h^2 → 0。
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