kaoyan1basic 高等数学 第32题
📝 题目
### 第32题 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$ **解析**： 步骤1：取对数得 $\ln f(x)=\sin x\ln x$。 步骤2：两边求导得 $\displaystyle \frac{f'(x)}{f(x)}=\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}$。 步骤3：乘以 $f(x)$ 得 $\displaystyle f'(x)=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：取对数化简函数
对 $f(x)=x^{\sin x}$ 两边取自然对数，得 $\ln f(x) = \sin x \ln x$。
公式：$\ln f(x) = \sin x \ln x$
提示：取对数可将幂指函数转化为乘积形式，便于求导。
步骤 2/3
目标：对等式两边求导
对 $\ln f(x) = \sin x \ln x$ 两边关于 $x$ 求导，左边为 $\frac{f'(x)}{f(x)}$，右边使用乘积法则：$(\sin x)' \ln x + \sin x (\ln x)' = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$。
公式：$\frac{f'(x)}{f(x)} = \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x}$
提示：注意 $\ln f(x)$ 的导数是 $\frac{f'(x)}{f(x)}$，这是隐函数求导的关键。
步骤 3/3
目标：解出 $f'(x)$
将上式两边乘以 $f(x)$，得 $f'(x) = f(x) \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$。
公式：$f'(x) = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$
提示：最后代入 $f(x)=x^{\sin x}$ 即可得到最终结果。
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