kaoyan1basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 第33题 $f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2} \cdots(x+n)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ． ## 数学基础过关660题•数学一（习题册）
💡 答案解析
**答案**：$2[(n!)^2]$ **解析**： 步骤1：$f(x)=x^2g(x)$，其中 $g(x)=(x+1)^2(x+2)^2\cdots(x+n)^2$，则 $f'(x)=2xg(x)+x^2g'(x)$，$f''(x)=2g(x)+4xg'(x)+x^2g''(x)$。 步骤2：代入 $x=0$ 得 $f''(0)=2g(0)=2\cdot(1^2\cdot2^2\cdots n^2)=2(n!)^2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将f(x)分解为x^2乘以g(x)，其中g(x)不含x因子
令 g(x) = (x+1)^2 (x+2)^2 ... (x+n)^2，则 f(x) = x^2 g(x)。
公式：f(x) = x^2 g(x)
提示：注意g(0) = (1^2)(2^2)...(n^2) = (n!)^2
步骤 2/4
目标：求f(x)的一阶导数
对f(x)=x^2 g(x)求导，使用乘积法则：f'(x) = 2x g(x) + x^2 g'(x)。
公式：f'(x) = 2x g(x) + x^2 g'(x)
步骤 3/4
目标：求f(x)的二阶导数
对f'(x)再次求导，使用乘积法则：f''(x) = 2g(x) + 2x g'(x) + 2x g'(x) + x^2 g''(x) = 2g(x) + 4x g'(x) + x^2 g''(x)。
公式：f''(x) = 2g(x) + 4x g'(x) + x^2 g''(x)
步骤 4/4
目标：代入x=0计算f''(0)
代入x=0，含x的项均为0，得f''(0)=2g(0)=2*(1^2*2^2*...*n^2)=2*(n!)^2。
公式：f''(0) = 2g(0) = 2(n!)^2
提示：注意g(0)的计算：每个因子(x+k)^2在x=0时为k^2，乘积为(n!)^2
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