kaoyan1basic 高等数学 第34题
📝 题目
### 第34题 设 $y=y(x)$ 由参数方程 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{1}{2} \ln \left(1+t^{2}\right) \\ y=\arctan t\end{array}\right.$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=$ $\_\_\_\_$ ， $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．$y=y(x)$ 在任意点处的曲率 $K=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{1}{t}$，$\displaystyle -\frac{1+t^2}{t^3}$，$\displaystyle \frac{|t|}{(1+t^2)^{3/2}}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \frac{dx}{dt}=\frac{t}{1+t^2}$，$\displaystyle \frac{dy}{dt}=\frac{1}{1+t^2}$，则 $\displaystyle \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1}{t}$。 步骤2：$\displaystyle \frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d}{dt}\left(\frac{1}{t}\right)\Big/\frac{dx}{dt}=\left(-\frac{1}{t^2}\right)\Big/\frac{t}{1+t^2}=-\frac{1+t^2}{t^3}$。 步骤3：曲率 $\displaystyle K=\frac{|y''|}{(1+y'^2)^{3/2}}=\frac{|-\frac{1+t^2}{t^3}|}{\left(1+\frac{1}{t^2}\right)^{3/2}}=\frac{|t|}{(1+t^2)^{3/2}}$。 **难度**：★★★☆☆