kaoyan1basic 高等数学 第35题
📝 题目
### 第35题 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^3}$ **解析**： 步骤1：方程两边对 $x$ 求导得 $y'=\cos(x+y)(1+y')$，解得 $\displaystyle y'=\frac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}$。 步骤2：再求导得 $y''=-\sin(x+y)(1+y')y'+\cos(x+y)y''$，整理得 $\displaystyle y''=-\frac{\sin(x+y)(1+y')y'}{1-\cos(x+y)}$。 步骤3：代入 $y'$ 表达式化简得 $\displaystyle y''=-\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数 y'
方程两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数，得到 y' = cos(x+y)(1+y')。
公式：y' = cos(x+y)(1+y')
提示：隐函数求导时，对 y 的函数求导要乘以 y'。
步骤 2/4
目标：解出 y'
将上一步的方程整理，移项得 y' - cos(x+y) y' = cos(x+y)，即 y'[1 - cos(x+y)] = cos(x+y)，所以 y' = cos(x+y) / [1 - cos(x+y)]。
公式：y' = \frac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}
提示：注意分母不为零。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 y''
对 y' 的表达式两边对 x 求导，注意 y 和 y' 都是 x 的函数。得到 y'' = [-sin(x+y)(1+y')y' * (1 - cos(x+y)) - cos(x+y) * sin(x+y)(1+y')] / [1 - cos(x+y)]^2，化简后利用 y' 表达式进一步简化。另一种方法：直接对原方程求导两次，得到 y'' = -sin(x+y)(1+y')y' + cos(x+y)y''，然后解出 y''。
公式：y'' = -\frac{\sin(x+y)(1+y')y'}{1-\cos(x+y)}
提示：注意复合函数求导，sin(x+y) 对 x 求导得 cos(x+y)(1+y')。
步骤 4/4
目标：代入 y' 并化简
将 y' = cos(x+y)/[1-cos(x+y)] 代入 y'' 表达式，并化简。计算 (1+y') = 1/[1-cos(x+y)]，所以 y'' = -sin(x+y) * [1/(1-cos(x+y))] * [cos(x+y)/(1-cos(x+y))] / [1-cos(x+y)] = -sin(x+y) / [1-cos(x+y)]^3。
公式：y'' = -\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^3}
提示：化简时注意代数运算的准确性。
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