kaoyan1basic 高等数学 第36题
📝 题目
### 第36题 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$y=x-1$ **解析**： 步骤1：直线 $x+y=2$ 斜率为 $-1$，垂直切线斜率为 $1$。 步骤2：$y=\ln x$ 的导数 $\displaystyle y'=\frac{1}{x}=1$，得 $x=1$，切点为 $(1,0)$。 步骤3：切线方程为 $y-0=1\cdot(x-1)$，即 $y=x-1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定切线斜率
直线 x+y=2 的斜率为 -1，与其垂直的直线斜率为 1，故切线斜率为 1。
公式：k1 * k2 = -1
提示：两直线垂直时斜率乘积为 -1。
步骤 2/3
目标：求切点坐标
对 y=ln x 求导得 y'=1/x，令 y'=1，解得 x=1，代入 y=ln x 得 y=0，切点为 (1,0)。
公式：y' = 1/x
提示：导数值等于切线斜率。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
利用点斜式：y - 0 = 1*(x - 1)，化简得 y = x - 1。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：点斜式是求切线方程的常用方法。
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