kaoyan1basic 高等数学 第211题
📝 题目
### 第211题 已知 $y_{1}(x)$ 和 $y_{2}(x)$ 是方程 $y^{\prime}+p(x) y=0$ 的两个不同的特解，则该方程的通解为 （A）$y=C y_{1}(x)$ ． （B）$y=C y_{2}(x)$ ． （C）$y=C_{1} y_{1}(x)+C_{2} y_{2}(x)$ ． （D）$y=C\left(y_{1}(x)-y_{2}(x)\right)$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：一阶齐次线性微分方程通解结构为 $y=C\cdot \varphi(x)$，其中 $\varphi(x)$ 为非零特解。 步骤2：$y_1$ 与 $y_2$ 不同，则 $y_1-y_2$ 为非零解，且通解可表示为 $y=C(y_1-y_2)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定一阶齐次线性微分方程的通解结构
一阶齐次线性微分方程 $y' + p(x)y = 0$ 的通解形式为 $y = C \cdot \varphi(x)$，其中 $\varphi(x)$ 是一个非零特解。
公式：y = C \cdot \varphi(x)
提示：注意通解中只有一个任意常数。
步骤 2/3
目标：利用两个不同的特解构造非零特解
已知 $y_1(x)$ 和 $y_2(x)$ 是两个不同的特解，则它们的差 $y_1(x) - y_2(x)$ 也是方程的解，且由于 $y_1 \neq y_2$，该差非零。因此 $y_1 - y_2$ 是一个非零特解。
公式：y_1 - y_2 \neq 0
提示：齐次方程解的线性组合仍是解。
步骤 3/3
目标：写出通解表达式
将非零特解 $y_1 - y_2$ 代入通解结构，得到通解为 $y = C (y_1(x) - y_2(x))$。
公式：y = C (y_1 - y_2)
提示：选项D正确。
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