kaoyan1basic 高等数学 第212题
📝 题目
### 第212题 设 $P(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内连续，且以 $T$ 为周期，则 $\int_{0}^{T} P(x) \mathrm{d} x=0$ 是方程 $$ $\begin{equation*}$ $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+P(x) y=0 \tag{*}$ \end{equation*} $$ 有解 $y=y(x) \not \equiv 0$ 且以 $T$ 为周期的 （A）必要非充分条件． （B）充分非必要条件． （C）充分且必要条件． （D）既不充分也不必要条件．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：方程通解 $y = Ce^{-\int P(x)dx}$。 步骤2：若 $y$ 以 $T$ 为周期且非零，则 $e^{-\int_{0}^{T}P(x)dx}=1$，即 $\int_{0}^{T}P(x)dx=0$，必要性成立。 步骤3：若 $\int_{0}^{T}P(x)dx=0$，则 $e^{-\int P(x)dx}$ 以 $T$ 为周期，取 $C\neq0$ 得周期解，充分性成立。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出方程的通解形式
方程为一阶线性齐次微分方程，其通解为 y = Ce^{-∫P(x)dx}，其中 C 为任意常数。
公式：y = Ce^{-∫P(x)dx}
提示：注意积分常数 C 可以取任意非零值得到非零解。
步骤 2/3
目标：必要性证明：若存在非零周期解，则 ∫_0^T P(x)dx = 0
设 y(x) 是方程的非零解且以 T 为周期，则 y(x+T) = y(x)。代入通解形式得 Ce^{-∫_0^{x+T} P(t)dt} = Ce^{-∫_0^x P(t)dt}，即 e^{-∫_x^{x+T} P(t)dt} = 1。由于 P 以 T 为周期，∫_x^{x+T} P(t)dt = ∫_0^T P(t)dt，故 e^{-∫_0^T P(t)dt} = 1，从而 ∫_0^T P(t)dt = 0。
公式：e^{-∫_0^T P(x)dx} = 1 ⇒ ∫_0^T P(x)dx = 0
提示：利用周期函数的积分性质：∫_x^{x+T} P(t)dt = ∫_0^T P(t)dt。
步骤 3/3
目标：充分性证明：若 ∫_0^T P(x)dx = 0，则存在非零周期解
设 ∫_0^T P(x)dx = 0。考虑函数 φ(x) = e^{-∫_0^x P(t)dt}，则 φ(x+T) = e^{-∫_0^{x+T} P(t)dt} = e^{-∫_0^x P(t)dt - ∫_x^{x+T} P(t)dt} = φ(x) e^{-∫_0^T P(t)dt} = φ(x)。因此 φ(x) 以 T 为周期。取 C ≠ 0，则 y = C φ(x) 是方程的非零周期解。
公式：φ(x+T) = φ(x) 当且仅当 ∫_0^T P(x)dx = 0
提示：注意 φ(x) 是方程的一个特解，乘以非零常数仍为解。
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