kaoyan1basic 高等数学 第213题
📝 题目
### 第213题 设 $y=y(x)$ 是 $y^{\prime \prime}+b y^{\prime}+c y=0$ 的解，其中 $b, c$ 为正的常数，则 $\lim _{x \rightarrow+\infty} y(x)$ （A）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 有关，与 $b, c$ 无关． （B）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b, c$ 均无关． （C）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $c$ 无关，只与 $b$ 有关。 （D）与解 $y(x)$ 的初值 $y(0), y^{\prime}(0)$ 及 $b$ 无关，只与 $c$ 有关。
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：特征方程 $r^2+br+c=0$，$b,c>0$，特征根实部均为负。 步骤2：通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x}$（或含三角函数），当 $x\to+\infty$ 时，所有项趋于0。 步骤3：$\lim_{x\to+\infty} y(x)=0$，与初值和系数均无关。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析特征根的性质
写出特征方程 r^2 + b r + c = 0，由于 b, c > 0，特征根的实部均为负（判别式可能为正、零或负，但实部均为负）。
公式：r^2 + b r + c = 0
提示：注意 b, c 为正常数，确保特征根实部为负。
步骤 2/3
目标：写出通解形式
根据特征根的不同情况，通解为：若两个实根 r1, r2，则 y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x}；若共轭复根 α ± iβ，则 y = e^{α x}(C1 cos βx + C2 sin βx)。由于实部 α < 0，指数衰减。
公式：y = C1 e^{r1 x} + C2 e^{r2 x} 或 y = e^{α x}(C1 cos βx + C2 sin βx)
提示：无论哪种形式，当 x→+∞ 时，指数因子 e^{实部 * x} → 0。
步骤 3/3
目标：求极限
当 x→+∞ 时，所有项均趋于0，因此极限为0。
公式：lim_{x→+∞} y(x) = 0
提示：极限与初值 y(0), y'(0) 以及 b, c 均无关。
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