kaoyan1basic 高等数学 第214题
📝 题目
### 第214题 已知 $y^{*}=\mathrm{e}^{-2 x}+\left(x^{2}+2\right) \mathrm{e}^{x}$ 是二阶常系数线性非齐次微分方程 $y^{\prime \prime}+a y^{\prime}+b y=(c x+$ d） $\mathrm{e}^{x}$ 的一个解，则方程中的系数 $a$ 与 $b$ 以及非齐次项中的常数 $c$ 和 $d$ 分别是 （A）$a=1, b=-2, c=6, d=2$ ． （B）$a=1, b=2, c=6, d=-2$ ． （C）$a=1, b=-2, c=-6, d=2$ ． （D）$a=1, b=-2, c=6, d=-2$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$y^* = e^{-2x} + (x^2+2)e^x$，代入方程。 步骤2：$e^{-2x}$ 对应齐次解，故 $-2$ 是特征根，特征方程 $r^2+ar+b=0$ 有根 $r=-2$，得 $4-2a+b=0$。 步骤3：$(x^2+2)e^x$ 对应非齐次特解，代入得 $a=1$，$b=-2$，比较系数得 $c=6$，$d=2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定特征根并建立方程
已知解 y* = e^{-2x} + (x^2+2)e^x，其中 e^{-2x} 对应齐次方程的解，因此 r=-2 是特征根。特征方程为 r^2 + a r + b = 0，代入 r=-2 得 4 - 2a + b = 0。
公式：r^2 + a r + b = 0，代入 r=-2 得 4 - 2a + b = 0
提示：注意齐次解的形式对应特征根。
步骤 2/3
目标：代入特解部分并比较系数
将 y_p = (x^2+2)e^x 代入原方程 y'' + a y' + b y = (c x + d)e^x。计算 y_p' = (x^2+2x+2)e^x，y_p'' = (x^2+4x+4)e^x。代入得 (x^2+4x+4) + a(x^2+2x+2) + b(x^2+2) = c x + d。整理得 (1+a+b)x^2 + (4+2a)x + (4+2a+2b) = c x + d。比较系数得：1+a+b=0，4+2a=c，4+2a+2b=d。
公式：y_p'' + a y_p' + b y_p = (c x + d)e^x
提示：计算导数时注意指数函数的求导规则。
步骤 3/3
目标：解方程组求参数
由步骤1得 4-2a+b=0，由步骤2得 1+a+b=0。两式相减得 (4-2a+b)-(1+a+b)=0-0 => 3-3a=0 => a=1。代入 1+1+b=0 => b=-2。再代入 4+2a=c => c=4+2=6，d=4+2a+2b=4+2-4=2。
公式：a=1, b=-2, c=6, d=2
提示：解方程组时注意符号。
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