kaoyan1basic 高等数学 第216题
📝 题目
### 第216题 设 $L$ 是连接两点 $A(0,1)$ 与 $B(1,0)$ 的一条凸弧，$P(x$ ， $y)$ 是 $L$ 上的任意一点．已知凸弧 $L$ 与弦 $A P$ 围成的平面图形的面积等于 $x^{4}$ ，则 $L$ 的方程是 （A） $1-3 x+4 x^{3}$ ． （B） $1-4 x+3 x^{3}$ ． （C） $1+3 x-4 x^{3}$ ． （D） $1+4 x-3 x^{3}$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：设L的方程为$y=f(x)$，则弦AP的方程为$y=1-x$。凸弧L与弦AP围成的平面图形面积为$\int_0^x [f(t)-(1-t)]dt = x^4$。两边对$x$求导得$f(x)-(1-x)=4x^3$，即$f(x)=1-x+4x^3$。因此L的方程为$y=1-3x+4x^3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设曲线方程并写出弦方程
设L的方程为y=f(x)，则弦AP的方程为y=1-x。
提示：注意A(0,1)和B(1,0)的连线方程是y=1-x。
步骤 2/4
目标：表示面积并建立等式
凸弧L与弦AP围成的平面图形面积为∫_0^x [f(t)-(1-t)]dt = x^4。
公式：∫_0^x [f(t)-(1-t)]dt = x^4
提示：面积是曲线减直线，积分变量为t，上限为x。
步骤 3/4
目标：对等式两边求导
两边对x求导得f(x)-(1-x)=4x^3。
公式：d/dx ∫_0^x [f(t)-(1-t)]dt = f(x)-(1-x) = 4x^3
提示：利用微积分基本定理求导。
步骤 4/4
目标：解出f(x)并写出方程
由f(x)-(1-x)=4x^3得f(x)=1-x+4x^3，即y=1-3x+4x^3。
公式：f(x)=1-x+4x^3
提示：注意化简后与选项匹配。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。