kaoyan1basic 高等数学 第217题
📝 题目
### 第217题 设 $a, b, c$ 为待定常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=3 x-2 \mathrm{e}^{x}$ 的特解具有形式 （A）$(a x+b) \mathrm{e}^{x}$ ． （B）$(a x+b) x \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$(a x+b)+c \mathrm{e}^{x}$ ． （D）$(a x+b)+c x \mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：对应齐次方程的特征方程为$r^2-3r+2=0$，解得$r=1,2$。非齐次项$3x-2e^x$中，$3x$对应特解形式为$ax+b$；$-2e^x$中指数系数1是特征根，对应特解形式为$cx e^x$。因此特解形式为$(ax+b)+cx e^x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出齐次方程的特征方程并求解特征根
对应齐次方程 y'' - 3y' + 2y = 0 的特征方程为 r^2 - 3r + 2 = 0，解得 r1 = 1，r2 = 2。
公式：r^2 - 3r + 2 = 0
提示：特征方程由齐次方程系数直接得到。
步骤 2/3
目标：分析非齐次项并确定特解形式
非齐次项为 3x - 2e^x，分为两部分：3x 对应特解形式为 ax+b；-2e^x 中指数系数1是特征根，故对应特解形式为 cx e^x。因此特解形式为 (ax+b) + cx e^x。
公式：特解形式：y* = (ax+b) + cx e^x
提示：注意 e^x 中指数1是单根，所以乘以 x。
步骤 3/3
目标：选择正确选项
根据特解形式，选项D为 (ax+b) + cx e^x，符合要求。
提示：检查选项是否包含两部分且e^x项有x因子。
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