kaoyan1basic 高等数学 第218题
📝 题目
### 第218题 已知曲线 $y=y(x)$ 经过原点，且在原点的切线平行于直线 $2 x-y-5=0$ ，而 $y(x)$满足微分方程 $y^{\prime \prime}-6 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{3 x}$ ，则此曲线的方程为 （A）$y=\sin 2 x$ ． （B）$\displaystyle y=\frac{1}{2} x^{2} \mathrm{e}^{2 x}+\sin 2 x$ ． （C）$\displaystyle y=\frac{x}{2}(x+4) \mathrm{e}^{3 x}$ ． （D）$y=\left(x^{2} \cos x+\sin 2 x\right) \mathrm{e}^{3 x}$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：特征方程$r^2-6r+9=0$，解得$r=3$（二重根）。齐次通解为$(C_1+C_2x)e^{3x}$。非齐次项$e^{3x}$中指数系数3是二重特征根，设特解$y^*=Ax^2 e^{3x}$，代入方程解得$\displaystyle A=\frac{1}{2}$。通解为$\displaystyle y=(C_1+C_2x+\frac{1}{2}x^2)e^{3x}$。由$y(0)=0$得$C_1=0$；由$y'(0)=2$（切线平行于$2x-y-5=0$，斜率2）得$C_2=2$。故$\displaystyle y=(2x+\frac{1}{2}x^2)e^{3x}=\frac{x}{2}(x+4)e^{3x}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求解齐次微分方程的通解
写出特征方程 r^2 - 6r + 9 = 0，解得 r = 3（二重根），因此齐次通解为 y_h = (C1 + C2 x) e^{3x}。
公式：r^2 - 6r + 9 = 0
提示：注意特征根为重根时，通解形式要乘以 x。
步骤 2/5
目标：设非齐次特解形式
非齐次项为 e^{3x}，指数系数 3 是二重特征根，故设特解 y* = A x^2 e^{3x}。
公式：y* = A x^2 e^{3x}
提示：当非齐次项指数与特征根相同时，特解需要乘以 x^k，k 为特征根重数。
步骤 3/5
目标：代入微分方程求特解系数
将 y* 代入 y'' - 6y' + 9y = e^{3x}，计算得 y*' = A(2x + 3x^2) e^{3x}，y*'' = A(2 + 12x + 9x^2) e^{3x}，代入后化简得 2A e^{3x} = e^{3x}，所以 A = 1/2。
公式：y*'' - 6y*' + 9y* = e^{3x}
提示：代入后注意合并同类项，利用 e^{3x} 非零消去。
步骤 4/5
目标：写出通解并利用初始条件确定常数
通解为 y = (C1 + C2 x + (1/2)x^2) e^{3x}。由 y(0)=0 得 C1=0；由切线平行于 2x-y-5=0 得斜率 2，即 y'(0)=2。求导得 y' = (C2 + x + (3/2)x^2) e^{3x} + 3(C2 x + (1/2)x^2) e^{3x}，代入 x=0 得 y'(0)=C2=2。
公式：y(0)=0, y'(0)=2
提示：注意求导时使用乘积法则，并正确代入 x=0。
步骤 5/5
目标：得到曲线方程并化简
代入 C1=0, C2=2 得 y = (2x + (1/2)x^2) e^{3x} = (x/2)(x+4) e^{3x}，对应选项 C。
公式：y = (x/2)(x+4) e^{3x}
提示：化简时提取公因式。
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