kaoyan1basic 高等数学 第219题
📝 题目
### 第219题 设 $f_{1}(x), f_{2}(x)$ 为二阶常系数线性微分方程 $y^{\prime \prime}+p y^{\prime}+q y=0$ 的两个特解，$C_{1}, C_{2}$是两个任意常数，则 $C_{1} f_{1}(x)+C_{2} f_{2}(x)$ 是该方程通解的充分条件是 （A）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （B）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x)=0$ ． （C）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)+f_{2}(x) f_{1}^{\prime}(x) \neq 0$ ． （D）$f_{1}(x) f_{2}^{\prime}(x)-f_{2}(x) f^{\prime}{ }_{1}(x) \neq 0$ ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$C_1 f_1(x)+C_2 f_2(x)$是二阶齐次线性微分方程通解的充要条件是$f_1(x)$与$f_2(x)$线性无关，即它们的Wronskian行列式$W(x)=f_1(x)f_2'(x)-f_2(x)f_1'(x) \neq 0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确问题：判断C1f1(x)+C2f2(x)为通解的充分条件
二阶常系数线性齐次微分方程的通解结构要求两个特解线性无关，即它们的Wronskian行列式不为零。
公式：W(x) = f1(x)f2'(x) - f2(x)f1'(x) ≠ 0
提示：Wronskian行列式用于判断函数线性相关性。
步骤 2/3
目标：分析选项
选项A和B分别给出Wronskian等于0或和为0，这表示线性相关，不能构成通解。选项C和D给出非零条件，但C是加号，不是Wronskian。只有D是Wronskian非零。
提示：注意Wronskian的定义是减号。
步骤 3/3
目标：得出结论
因此，充分条件是f1(x)f2'(x)-f2(x)f1'(x)≠0，对应选项D。
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