kaoyan1basic 高等数学 第220题
📝 题目
### 第220题 若 $A, B$ 为非零常数，$k$ 为常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}+k^{2} y=\cos x$ 的特解可能具有形式 （A）$A \sin x+B \cos x$ ． （B）$A x \cos x$ ． （C）$A x \sin x$ ． （D）$A x \sin x+B x \cos x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：特征方程$r^2+k^2=0$，解得$r=\pm ki$。当$k \neq 1$时，非齐次项$\cos x$中$\pm i$不是特征根，特解形式为$A\cos x+B\sin x$；当$k=1$时，$\pm i$是特征根，特解形式为$x(A\cos x+B\sin x)$。综合两种情况，特解可能具有形式$Ax\sin x+Bx\cos x$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征方程并求解特征根
对于微分方程 y'' + k^2 y = cos x，对应的齐次方程为 y'' + k^2 y = 0。特征方程为 r^2 + k^2 = 0，解得 r = ±ki。
公式：r^2 + k^2 = 0
提示：特征根为共轭复根，注意虚部为k。
步骤 2/3
目标：根据非齐次项和特征根判断特解形式
非齐次项为 cos x，对应的指数形式为 e^(ix)，其中 ±i 是否为特征根取决于k。当k≠1时，±i不是特征根，特解形式为 A cos x + B sin x；当k=1时，±i是特征根，特解形式为 x(A cos x + B sin x)。综合两种情况，特解可能具有形式 Ax sin x + Bx cos x。
公式：特解形式：若λ不是特征根，则特解为(A cos x + B sin x)；若λ是特征根，则特解为x(A cos x + B sin x)。
提示：注意区分k=1和k≠1两种情况，选项D包含了两种可能。
步骤 3/3
目标：选择正确选项
根据特解形式，选项D：A x sin x + B x cos x 符合要求，因为当k=1时，特解为x(A cos x + B sin x)，即A x sin x + B x cos x；当k≠1时，特解为A cos x + B sin x，但选项D中若A=B=0则退化为0，但题目要求非零常数，所以实际上当k≠1时，特解形式应为A cos x + B sin x，而选项D中若A和B取适当值（如A=0, B≠0或A≠0, B=0）也可表示，但更一般地，选项D包含了两种可能，因此是正确答案。
提示：注意选项A是k≠1时的特解形式，但题目问的是可能具有形式，即包括k=1的情况，所以D更全面。
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