kaoyan1basic 高等数学 第221题
📝 题目
### 第221题 设 $A, B$ 都是不等于零的常数，则微分方程 $y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=\mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ 有特解 （A）$y^{*}=x \mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （B）$y^{*}=\mathrm{e}^{x}(A \cos 2 x+B \sin 2 x)$ ． （C）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \cos 2 x$ ． （D）$y^{*}=A x \mathrm{e}^{x} \sin 2 x$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：特征方程$r^2-2r+5=0$，解得$r=1\pm 2i$。非齐次项$e^x\cos 2x$中指数系数$1\pm 2i$是特征根，因此特解形式为$x e^x(A\cos 2x+B\sin 2x)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出特征方程并求解特征根
由微分方程 y'' - 2y' + 5y = e^x cos 2x，对应的齐次方程的特征方程为 r^2 - 2r + 5 = 0，解得 r = 1 ± 2i。
公式：r^2 - 2r + 5 = 0
提示：注意特征根为共轭复根。
步骤 2/3
目标：分析非齐次项的形式，确定特解形式
非齐次项为 e^x cos 2x，对应的指数系数为 1 ± 2i，恰好等于特征根，因此特解需要乘以 x，形式为 y* = x e^x (A cos 2x + B sin 2x)。
公式：y* = x e^x (A cos 2x + B sin 2x)
提示：当非齐次项中的指数与特征根重合时，特解要乘以 x。
步骤 3/3
目标：对比选项，选择正确选项
选项 A 为 y* = x e^x (A cos 2x + B sin 2x)，与推导出的特解形式一致，故答案为 A。
提示：注意选项 C 和 D 只含一个三角函数，不完整。
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