kaoyan1basic 高等数学 第222题
📝 题目
### 第222题 具有特解 $y_{1}=\mathrm{e}^{-x}, y_{2}=2 x \mathrm{e}^{-x}, y_{3}=3 \mathrm{e}^{x}$ 的三阶常系数齐次线性微分方程是 （A）$y^{\prime \prime \prime}-y^{\prime \prime}-y^{\prime}+y=0$ ． （B）$y^{\prime \prime \prime}+y^{\prime \prime}-y^{\prime}-y=0$ ． （C）$y^{\prime \prime \prime}-6 y^{\prime \prime}+11 y^{\prime}-6 y=0$ ． （D）$y^{\prime \prime \prime}-2 y^{\prime \prime}-y^{\prime}+2 y=0$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由特解形式知特征根为$r=-1$（二重根）和$r=1$。特征方程为$(r+1)^2(r-1)=0$，即$r^3+r^2-r-1=0$。对应微分方程为$y'''+y''-y'-y=0$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定特征根
由特解 y1 = e^{-x}, y2 = 2x e^{-x} 可知，r = -1 是二重根；由 y3 = 3e^{x} 可知，r = 1 是单根。因此特征根为 r = -1（二重），r = 1。
提示：注意特解形式与特征根的对应关系：e^{rx} 对应单根 r，x e^{rx} 对应二重根 r。
步骤 2/4
目标：写出特征方程
根据特征根，特征方程为 (r+1)^2 (r-1) = 0。展开得 (r^2+2r+1)(r-1) = r^3 + r^2 - r - 1 = 0。
公式：(r+1)^2 (r-1) = r^3 + r^2 - r - 1 = 0
提示：展开时注意多项式乘法，避免符号错误。
步骤 3/4
目标：由特征方程得微分方程
特征方程 r^3 + r^2 - r - 1 = 0 对应微分方程 y''' + y'' - y' - y = 0。
公式：y''' + y'' - y' - y = 0
提示：特征方程中 r^k 对应 y 的 k 阶导数。
步骤 4/4
目标：匹配选项
选项 B 为 y''' + y'' - y' - y = 0，与所得方程一致。
提示：检查各选项的系数是否匹配。
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