kaoyan1basic 高等数学 第223题

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📝 题目

### 第223题 微分方程 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}+x y=\frac{x}{2 y} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ 满足 $y(0)=1$ 的特解是 （A）$\displaystyle y=\left(x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （B）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2} x^{2}}$ ． （C）$\displaystyle y=\left(\frac{1}{2} x^{2}+1\right) \mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2}}$ ． （D）$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2} x^{2}+1} \mathrm{e}^{-x^{2}}$ ．

💡 答案解析

**答案**：B **解析**：方程化为$2yy'+2xy^2=x e^{-x^2}$。令$u=y^2$，则$u'+2xu=x e^{-x^2}$。一阶线性微分方程通解为$\displaystyle u=e^{-\int 2x dx}[\int x e^{-x^2} e^{\int 2x dx}dx+C]=e^{-x^2}(\int x dx+C)=e^{-x^2}(\frac{1}{2}x^2+C)$。由$y(0)=1$得$u(0)=1$，代入得$C=1$。故$\displaystyle y^2=(\frac{1}{2}x^2+1)e^{-x^2}$，$\displaystyle y=\sqrt{\frac{1}{2}x^2+1}e^{-\frac{1}{2}x^2}$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：将原方程化为可解形式
原方程为 $\frac{dy}{dx} + xy = \frac{x}{2y} e^{-x^2}$。两边乘以 $2y$ 得 $2y \frac{dy}{dx} + 2xy^2 = x e^{-x^2}$，即 $\frac{d}{dx}(y^2) + 2x y^2 = x e^{-x^2}$。
公式：$2y\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(y^2)$
提示：注意 $y$ 不为零，因为 $y(0)=1$。
步骤 2/5
目标：变量代换化为一阶线性微分方程
令 $u = y^2$，则 $\frac{du}{dx} + 2x u = x e^{-x^2}$。
公式：$u' + 2x u = x e^{-x^2}$
提示：代换后方程变为关于 $u$ 的一阶线性微分方程。
步骤 3/5
目标：求解一阶线性微分方程
通解公式：$u = e^{-\int 2x dx} \left( \int x e^{-x^2} e^{\int 2x dx} dx + C \right) = e^{-x^2} \left( \int x dx + C \right) = e^{-x^2} \left( \frac{1}{2}x^2 + C \right)$。
公式：$u = e^{-\int P dx} \left( \int Q e^{\int P dx} dx + C \right)$
提示：计算积分时注意 $\int x e^{-x^2} e^{x^2} dx = \int x dx$。
步骤 4/5
目标：代入初始条件确定常数
由 $y(0)=1$ 得 $u(0)=1$，代入 $u = e^{-x^2} \left( \frac{1}{2}x^2 + C \right)$ 得 $1 = 1 \cdot (0 + C)$，所以 $C=1$。
提示：初始条件用于确定特解中的常数。
步骤 5/5
目标：回代得到 $y$ 的表达式
因此 $u = y^2 = \left( \frac{1}{2}x^2 + 1 \right) e^{-x^2}$，开方得 $y = \sqrt{\frac{1}{2}x^2 + 1} e^{-\frac{1}{2}x^2}$（取正根，因为 $y(0)=1>0$）。
公式：$y = \sqrt{u}$
提示：开方时注意符号，由初始条件确定正负。

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