kaoyan1basic 高等数学 第224题
📝 题目
### 第224题 微分方程 $\left(y^{2}-1\right) \mathrm{d} x+(2 x y-\cos y) \mathrm{d} y=0$ 的通解是 （A）$y^{2} x-\sin y=C$ ． （B）$y^{2} x-\cos y=C$ ． （C）$\left(y^{2}-1\right) x-\cos y=C$ ． （D）$\left(y^{2}-1\right) x-\sin y=C$ ． 其中 $C$ 为任意常数． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：$\displaystyle \frac{\partial}{\partial y}(y^2-1)=2y$，$\displaystyle \frac{\partial}{\partial x}(2xy-\cos y)=2y$，方程为全微分方程。原函数$u(x,y)=\int (y^2-1)dx = x(y^2-1)+\varphi(y)$。由$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial y}=2xy+\varphi'(y)=2xy-\cos y$得$\varphi'(y)=-\cos y$，$\varphi(y)=-\sin y$。通解为$x(y^2-1)-\sin y=C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断方程是否为全微分方程
计算 ∂P/∂y 和 ∂Q/∂x，其中 P = y^2 - 1，Q = 2xy - cos y。∂P/∂y = 2y，∂Q/∂x = 2y，两者相等，故方程为全微分方程。
公式：∂P/∂y = ∂Q/∂x
提示：全微分方程的充要条件是 ∂P/∂y = ∂Q/∂x。
步骤 2/4
目标：求原函数 u(x,y)
由 u(x,y) = ∫ P dx = ∫ (y^2 - 1) dx = x(y^2 - 1) + φ(y)。
公式：u(x,y) = ∫ P dx + φ(y)
提示：积分时视 y 为常数。
步骤 3/4
目标：确定 φ(y)
对 u 求 y 偏导：∂u/∂y = 2xy + φ'(y)。令其等于 Q = 2xy - cos y，得 φ'(y) = -cos y，积分得 φ(y) = -sin y + C1。
公式：∂u/∂y = Q ⇒ φ'(y) = Q - ∂/∂y(∫ P dx)
提示：注意常数可并入通解。
步骤 4/4
目标：写出通解
原函数 u(x,y) = x(y^2 - 1) - sin y，通解为 u(x,y) = C，即 x(y^2 - 1) - sin y = C。
公式：u(x,y) = C
提示：通解中 C 为任意常数。
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