kaoyan1basic 高等数学 第225题
📝 题目
### 第225题 方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 的通解为 （A）$y=C_{1} \mathrm{e}^{x}+C_{2} \mathrm{e}^{2 x}$ ． （B）$y=\left(C_{1}+C_{2} x\right) \mathrm{e}^{x}$ ． （C）$y=C_{1} x+C_{2} x^{2}$ ． （D）$\displaystyle y=\frac{C_{1}}{x^{2}}+C_{2} x$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：这是欧拉方程。令$x=e^t$，则$x^2y''=y''_t-y'_t$，$xy'=y'_t$。原方程化为$y''_t-y'_t+2y'_t-2y=0$，即$y''_t+y'_t-2y=0$。特征方程$r^2+r-2=0$，解得$r=1,-2$。通解$y=C_1 e^t+C_2 e^{-2t}=C_1 x+C_2 x^{-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：识别方程类型
方程 $x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-2 y=0$ 是欧拉方程，其特点是各项系数为 $x$ 的幂次与导数阶数相同。
提示：欧拉方程的标准形式：$x^n y^{(n)} + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)} + \cdots + a_0 y = f(x)$。
步骤 2/6
目标：变量代换
令 $x = e^t$，则 $t = \ln x$。计算导数变换：$x y' = y'_t$，$x^2 y'' = y''_t - y'_t$。
公式：$x y' = \frac{dy}{dt}$，$x^2 y'' = \frac{d^2 y}{dt^2} - \frac{dy}{dt}$。
提示：注意二阶导数的变换公式，容易漏掉 $-y'_t$ 项。
步骤 3/6
目标：代入化简
将变换代入原方程：$(y''_t - y'_t) + 2 y'_t - 2y = 0$，整理得 $y''_t + y'_t - 2y = 0$。
提示：合并同类项，得到常系数线性微分方程。
步骤 4/6
目标：求解常系数微分方程
特征方程 $r^2 + r - 2 = 0$，解得 $r_1 = 1$，$r_2 = -2$。通解为 $y = C_1 e^{t} + C_2 e^{-2t}$。
公式：$r^2 + r - 2 = 0 \Rightarrow r = 1, -2$
提示：特征根为两个不等实根，通解形式为 $y = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}$。
步骤 5/6
目标：回代变量
将 $t = \ln x$ 代入，得 $y = C_1 e^{\ln x} + C_2 e^{-2\ln x} = C_1 x + C_2 x^{-2}$。
公式：$e^{\ln x} = x$，$e^{-2\ln x} = x^{-2}$
提示：注意 $e^{-2\ln x} = (e^{\ln x})^{-2} = x^{-2}$。
步骤 6/6
目标：选择正确选项
通解为 $y = C_1 x + C_2 x^{-2}$，即 $y = \frac{C_1}{x^2} + C_2 x$（注意常数顺序可调），对应选项 D。
提示：选项 D 中 $\frac{C_1}{x^2}$ 对应 $C_2 x^{-2}$，$C_2 x$ 对应 $C_1 x$，常数命名不同但形式一致。
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