kaoyan1basic 高等数学 第226题
📝 题目
### 第226题 设二元函数 $\displaystyle f(x, y)=\frac{\sin \left(x^{2} y+y^{4}\right)}{x^{2}+y^{2}}$ ，则 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} f(x, y)=$ （A） 1 ． （B） 0 ． （C）$+\infty$ ． （D）不存在，也不为 $\infty$ ． （－）纠错笔记
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由于$|\sin(x^2y+y^4)| \leq |x^2y+y^4|$，则$\displaystyle |f(x,y)| \leq \frac{|x^2y+y^4|}{x^2+y^2}$。令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则$\displaystyle \frac{|x^2y+y^4|}{x^2+y^2} \leq \frac{r^3|\cos^2\theta\sin\theta|+r^4\sin^4\theta}{r^2} \leq r+r^2 \to 0$。由夹逼准则，极限为0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用不等式放缩，将原函数绝对值与一个趋于0的函数比较。
由于 |sin(t)| ≤ |t|，所以 |f(x,y)| = |sin(x^2y+y^4)|/(x^2+y^2) ≤ |x^2y+y^4|/(x^2+y^2)。
公式：|sin(t)| ≤ |t|
提示：注意绝对值不等式方向。
步骤 2/4
目标：将分子中的项拆开，并利用极坐标变换简化表达式。
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则 x^2+y^2 = r^2，|x^2y+y^4| = |r^3 cos^2θ sinθ + r^4 sin^4θ| ≤ r^3|cos^2θ sinθ| + r^4 sin^4θ。因此 |f(x,y)| ≤ (r^3|cos^2θ sinθ| + r^4 sin^4θ)/r^2 = r|cos^2θ sinθ| + r^2 sin^4θ。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ
提示：极坐标变换常用于处理 (x,y)→(0,0) 的极限。
步骤 3/4
目标：利用有界量乘以无穷小量，得到上界趋于0。
由于 |cos^2θ sinθ| ≤ 1，sin^4θ ≤ 1，所以 r|cos^2θ sinθ| + r^2 sin^4θ ≤ r + r^2。当 r→0 时，r + r^2 → 0。因此 |f(x,y)| ≤ r + r^2 → 0。
公式：r + r^2 → 0 (r→0)
提示：注意有界量不影响极限为0。
步骤 4/4
目标：由夹逼准则得出极限值。
因为 0 ≤ |f(x,y)| ≤ r + r^2 → 0，所以由夹逼准则，lim_{(x,y)→(0,0)} |f(x,y)| = 0，从而原极限为0。
公式：夹逼准则
提示：夹逼准则要求不等式两端极限相等。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。