kaoyan1basic 高等数学 第227题
📝 题目
### 第227题 设 $k$ 为常数，则极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} \sin k y}{x^{2}+y^{4}}$ （A）等于 0 ． （B）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）不存在． （D）存在与否和 $k$ 取值有关．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：由于$|\sin ky| \leq |ky|$，则$\displaystyle |\frac{xy^2\sin ky}{x^2+y^4}| \leq |k|\frac{|x|y^3}{x^2+y^4}$。令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则$\displaystyle \frac{|x|y^3}{x^2+y^4} \leq \frac{r^4|\cos\theta\sin^3\theta|}{r^2\cos^2\theta+r^4\sin^4\theta} \leq \frac{r^2}{1} \to 0$。由夹逼准则，极限为0。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用不等式放缩被积函数
由于 |sin(ky)| ≤ |k||y|，所以 |xy² sin(ky)/(x²+y⁴)| ≤ |k| |x| y³/(x²+y⁴)。
公式：|sin(ky)| ≤ |k||y|
提示：常用不等式：|sin t| ≤ |t|
步骤 2/4
目标：使用极坐标变换
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则 |x| y³ = r⁴ |cosθ sin³θ|，x²+y⁴ = r² cos²θ + r⁴ sin⁴θ。因此 |k| |x| y³/(x²+y⁴) = |k| r⁴ |cosθ sin³θ|/(r² cos²θ + r⁴ sin⁴θ)。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ
提示：极坐标适用于处理含 x²+y² 或 x²+y⁴ 的极限
步骤 3/4
目标：进一步放缩
当 r 充分小时，分母 r² cos²θ + r⁴ sin⁴θ ≥ r² cos²θ，且分子 r⁴ |cosθ sin³θ| ≤ r⁴ |cosθ|，所以 |k| r⁴ |cosθ sin³θ|/(r² cos²θ + r⁴ sin⁴θ) ≤ |k| r⁴ |cosθ|/(r² cos²θ) = |k| r²/|cosθ|。但此放缩在 cosθ=0 时失效。另一种放缩：分母 ≥ r⁴ sin⁴θ，则 ≤ |k| r⁴ |cosθ sin³θ|/(r⁴ sin⁴θ) = |k| |cosθ|/|sinθ|，在 sinθ=0 时失效。因此采用统一放缩：分母 ≥ r² cos²θ，且分子 ≤ r⁴ |cosθ|，但需处理 cosθ=0 的情况。实际上，当 cosθ=0 时，分子为0，极限为0。因此整体有界。更简单的放缩：注意到 x²+y⁴ ≥ 2|x|y²（由均值不等式），但此处不适用。标准解法：利用 |x|y³/(x²+y⁴) ≤ (x²+y⁴)^(1/2) * y³/(x²+y⁴)？另一种常见放缩：|x|y³/(x²+y⁴) ≤ (x²+y⁴)^(1/2) * y³/(x²+y⁴) = y³/(x²+y⁴)^(1/2) → 0？不严谨。实际上，由 x²+y⁴ ≥ 2|x|y²，得 |x|y³/(x²+y⁴) ≤ |x|y³/(2|x|y²) = y/2 → 0。但需注意 x=0 或 y=0 时不等式成立。因此 |k| |x|y³/(x²+y⁴) ≤ |k| |y|/2 → 0。
公式：x²+y⁴ ≥ 2|x|y²
提示：均值不等式：a²+b⁴ ≥ 2|a|b²
步骤 4/4
目标：应用夹逼准则
由上述放缩，0 ≤ |xy² sin(ky)/(x²+y⁴)| ≤ |k| |y|/2 → 0 当 (x,y)→(0,0)。因此原极限为0。
公式：夹逼准则
提示：夹逼准则要求两边极限相等
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