kaoyan1basic 高等数学 第228题
📝 题目
### 第228题 极限 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}$ （A）不存在． （B）等于 2 ． （C）等于 $\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （D）等于 0 ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：沿路径$y=kx^2$，则$\displaystyle \frac{2x^2y}{x^4+y^2}=\frac{2x^2\cdot kx^2}{x^4+k^2x^4}=\frac{2k}{1+k^2}$，极限值随$k$变化，故极限不存在。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：判断极限是否存在
考虑沿不同路径趋近于(0,0)时，极限值是否相同。
提示：对于多元函数极限，若沿不同路径极限不同，则极限不存在。
步骤 2/4
目标：选取路径 y = kx^2
令 y = kx^2，其中 k 为常数，代入原式。
公式：\frac{2x^2 y}{x^4+y^2} = \frac{2x^2 \cdot kx^2}{x^4 + k^2 x^4} = \frac{2k}{1+k^2}
提示：选择路径时，通常考虑使分母次数与分子匹配的曲线。
步骤 3/4
目标：计算沿路径的极限
当 (x,y) → (0,0) 时，沿 y = kx^2，极限为 \frac{2k}{1+k^2}。
公式：\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^2 y}{x^4+y^2} = \frac{2k}{1+k^2}
提示：注意 k 不同时，极限值不同。
步骤 4/4
目标：得出结论
由于极限值依赖于 k，例如 k=0 时极限为0，k=1时极限为1，故极限不存在。
提示：多元函数极限存在要求所有路径极限相等。
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