kaoyan1basic 高等数学 第229题
📝 题目
### 第229题 极限 $\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} x y \ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ （A）不存在． （B）等于 1 ． （C）等于 0 ． （D）等于 2 ． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：令$x=r\cos\theta, y=r\sin\theta$，则$|xy\ln(x^2+y^2)|=|r^2\cos\theta\sin\theta\ln(r^2)|=2r^2|\ln r||\cos\theta\sin\theta|$。当$r\to 0$时，$r^2\ln r \to 0$，由夹逼准则，极限为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将直角坐标转化为极坐标
令 x = r cosθ, y = r sinθ，则 x^2 + y^2 = r^2，且当 (x,y)→(0,0) 时，r→0。
公式：x = r cosθ, y = r sinθ
提示：极坐标变换常用于处理含 x^2+y^2 的极限。
步骤 2/3
目标：代入并化简表达式
代入得 xy ln(x^2+y^2) = r^2 cosθ sinθ ln(r^2) = 2 r^2 cosθ sinθ ln r。取绝对值：|xy ln(x^2+y^2)| = 2 r^2 |ln r| |cosθ sinθ|。
公式：|xy ln(x^2+y^2)| = 2 r^2 |ln r| |cosθ sinθ|
提示：注意 ln(r^2)=2ln r，且 |cosθ sinθ| ≤ 1。
步骤 3/3
目标：利用夹逼准则求极限
由于 |cosθ sinθ| ≤ 1，有 0 ≤ |xy ln(x^2+y^2)| ≤ 2 r^2 |ln r|。当 r→0 时，r^2 ln r → 0，故由夹逼准则，原极限为 0。
公式：lim_{r→0} r^2 ln r = 0
提示：常用极限：lim_{r→0} r^α ln r = 0 (α>0)。
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