kaoyan1basic 高等数学 第230题
📝 题目
### 第230题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续、偏导数存在． （B）连续、偏导数不存在． （C）不连续、偏导数存在． （D）不连续、偏导数不存在． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：沿路径$y=kx$，$\displaystyle \lim_{x\to 0}\frac{kx^2}{x^2+k^2x^2}=\frac{k}{1+k^2}$，极限值随$k$变化，故函数在$(0,0)$处不连续。偏导数：$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}=0$，同理$f_y(0,0)=0$，偏导数存在。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：判断连续性
考虑路径 y=kx，代入函数得 f(x,kx)=kx^2/(x^2+k^2x^2)=k/(1+k^2)。当 x→0 时，极限值依赖于 k，因此极限不存在，函数在 (0,0) 处不连续。
公式：lim_{(x,y)→(0,0)} f(x,y) 沿不同路径极限不同
提示：选择特殊路径 y=kx 来验证极限是否存在。
步骤 2/2
目标：计算偏导数
f_x(0,0)=lim_{h→0} [f(h,0)-f(0,0)]/h = lim_{h→0} (0-0)/h = 0。同理 f_y(0,0)=0。因此偏导数存在。
公式：f_x(0,0)=lim_{h→0} (f(h,0)-f(0,0))/h
提示：偏导数定义中，固定一个变量为0。
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