kaoyan1basic 高等数学 第231题
📝 题目
### 第231题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{2} y}{x^{2}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但偏导数不存在． （C）连续且偏导数存在但不可微． （D）可微。 答题 区 232设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & (x, y) \neq(0,0) \\ 0, & (x, y)=(0,0)\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：判断连续性。由于$\displaystyle \left|\frac{x^2 y}{x^2+y^2}\right| \leq \frac{1}{2}|x|$，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0)$，函数连续。 步骤2：求偏导数。$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x,0)-0}{x}=0$，$\displaystyle f_y(0,0)=\lim_{y\to0}\frac{f(0,y)-0}{y}=0$，偏导数存在。 步骤3：判断可微性。考虑增量$\displaystyle \Delta f = f(x,y)-f(0,0)=\frac{x^2 y}{x^2+y^2}$，若可微则$\Delta f = 0\cdot x+0\cdot y+o(\sqrt{x^2+y^2})$。取路径$y=x$，$\displaystyle \frac{x^2 y}{x^2+y^2}=\frac{x^3}{2x^2}=\frac{x}{2}$，而$\sqrt{x^2+y^2}=\sqrt{2}|x|$，故$\displaystyle \frac{\Delta f}{\sqrt{x^2+y^2}} \to \frac{1}{2\sqrt{2}}\neq0$，不可微。 **难度**：★★☆☆☆