kaoyan1basic 高等数学 第233题
📝 题目
### 第233题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl}x y \sin \frac{1}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （C）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （D）全微分存在但一阶偏导函数 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：连续性。$\displaystyle \left|xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}\right|\leq |xy|$，故$\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0)$，连续。 步骤2：偏导数。$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{0-0}{x}=0$，同理$f_y(0,0)=0$，偏导数存在。 步骤3：可微性。$\displaystyle \Delta f = xy\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，$\displaystyle \frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{|xy|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \sqrt{x^2+y^2}\to0$，故可微。 步骤4：偏导函数连续性。考虑$\displaystyle f_x(x,y)=y\sin\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{x^2 y}{(x^2+y^2)^{3/2}}\cos\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2}}$，沿$y=x$趋于0时极限不存在，故$f_x$不连续。 **难度**：★★★☆☆