kaoyan1basic 高等数学 第234题
📝 题目
### 第234题 设 $\displaystyle f(x, y)=\left\{\begin{array}{cc}\frac{x^{4}-y^{4}}{x^{2}+y^{2}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{array}\right.$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）连续，但偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 不存在． （B）连续且偏导数 $f_{x}^{\prime}(0,0)$ 和 $f_{y}^{\prime}(0,0)$ 都存在，但不可微． （C）可微但 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 不连续． （D）可微且 $f_{x}^{\prime}$ 和 $f_{y}^{\prime}$ 连续． 答题 区
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：连续性。$\displaystyle \left|\frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}\right|\leq x^2+y^2$，故连续。 步骤2：偏导数。$\displaystyle f_x(0,0)=\lim_{x\to0}\frac{x^4/x^2}{x}=0$，$f_y(0,0)=0$。 步骤3：可微性。$\displaystyle \Delta f = \frac{x^4-y^4}{x^2+y^2}$，$\displaystyle \frac{|\Delta f|}{\sqrt{x^2+y^2}}\leq \frac{(x^2+y^2)^2}{(x^2+y^2)^{3/2}}=\sqrt{x^2+y^2}\to0$，可微。 步骤4：偏导函数连续性。$\displaystyle f_x(x,y)=\frac{4x^3(x^2+y^2)-2x(x^4-y^4)}{(x^2+y^2)^2}$，沿$y=0$时$f_x(x,0)=4x$连续，沿$x=0$时$f_x(0,y)=0$，可证$f_x$在(0,0)连续，同理$f_y$连续。 **难度**：★★★☆☆