kaoyan1basic 高等数学 第235题
📝 题目
### 第235题 设 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-f(0,0)+2 x-y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=1$ ，则 $f(x, y)$ 在点 $(0,0)$ 处 （A）不连续． （B）连续但两个偏导数不存在． （C）两个偏导数存在但不可微． （D）可微． 236设 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 连续，且 $\displaystyle \lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{f(x, y)-1}{x^{2}+y^{2}}=2$ ，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：由极限式，令$(x,y)\to(0,0)$，分母$\to0$，分子$\to f(0,0)-f(0,0)+0-0=0$，故$f(0,0)$存在且极限为0，但无法直接得连续性。 步骤2：改写极限：$\displaystyle \frac{f(x,y)-f(0,0)+2x-y}{\sqrt{x^2+y^2}}=1+o(1)$，则$f(x,y)-f(0,0)=-2x+y+\sqrt{x^2+y^2}+o(\sqrt{x^2+y^2})$。 步骤3：由可微定义，$f$在(0,0)处可微，且$f_x(0,0)=-2$，$f_y(0,0)=1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
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