kaoyan1basic 高等数学 第238题
📝 题目
### 第238题 如果 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处连续，那么下列命题正确的是 （A）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （B）若极限 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在，则 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微． （C）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{|x|+|y|}$ 存在． （D）若 $f(x, y)$ 在 $(0,0)$ 处可微，则 $\displaystyle \lim _{\substack{x \rightarrow 0 \\ y \rightarrow 0}} \frac{f(x, y)}{x^{2}+y^{2}}$ 存在．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：若$\displaystyle \lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{x^2+y^2}$存在，设为$A$，则$f(x,y)=A(x^2+y^2)+o(x^2+y^2)$，且$f(0,0)=0$。 步骤2：由可微定义，$f(x,y)-f(0,0)=0\cdot x+0\cdot y+o(\sqrt{x^2+y^2})$，因为$A(x^2+y^2)=o(\sqrt{x^2+y^2})$，故可微。 步骤3：A中分母$|x|+|y|$阶数较低，不能保证可微；C、D反例：$f(x,y)=|x|+|y|$可微但极限不存在。 **难度**：★★★☆☆