kaoyan1basic 高等数学 第239题
📝 题目
### 第239题 二元函数 $z=f(x, y)$ 在点 $\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 处连续是函数 $z=f(x, y)$ 在该点处两个偏导数 $f_{x}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right), f_{y}^{\prime}\left(x_{0}, y_{0}\right)$ 都存在的 （A）必要但非充分条件． （B）充分但非必要条件． （C）充要条件． （D）既非充分条件也非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：连续不一定偏导存在（如$f(x,y)=|x|+|y|$在(0,0)连续但偏导不存在）。 步骤2：偏导存在不一定连续（如$\displaystyle f(x,y)=\begin{cases}\frac{xy}{x^2+y^2},&(x,y)\neq(0,0)\\0,&(0,0)\end{cases}$偏导存在但不连续）。 步骤3：两者既非充分也非必要。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：判断连续与偏导存在的关系
考虑反例：f(x,y)=|x|+|y|在(0,0)处连续，但偏导数不存在，说明连续不是偏导存在的充分条件。
提示：连续不一定可导，一元函数中连续不一定可导，多元函数类似。
步骤 2/3
目标：判断偏导存在与连续的关系
考虑反例：f(x,y)=xy/(x^2+y^2)（(x,y)≠(0,0)），f(0,0)=0。该函数在(0,0)处偏导数存在（均为0），但不连续（沿y=x趋于0时极限为1/2≠0）。说明偏导存在不是连续的充分条件。
提示：偏导存在不能推出连续，多元函数中偏导存在只是沿坐标轴方向的变化率，不能保证其他方向。
步骤 3/3
目标：得出结论
由以上两个反例可知，连续与偏导存在之间既无充分性也无必要性，故选D。
提示：注意区分一元函数与多元函数的性质差异。
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